MECÂNICA GENRALIZADA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA DIMENSIONAL TENSORIAL [440]]

$equação Graceli quântica []$

$\psi ^{*}$

equação Graceli tensorial quântica [1]

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $\eta _{\mu \nu }$ =

EQUAÇÃO QUÂNTICA TENSORIAL GRACELI.

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = ${\hat {H}}$ $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = É O TENSOR GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $\eta _{\mu \nu }$ =

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = É O TENSOR GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

O conjunto canónico ^{(português europeu)} ou conjunto canônico ^{(português brasileiro)} ou ensemble canónico ^{(português europeu)} ou ensemble canônico ^{(português brasileiro)} em física estatística é um ensemble estatístico que modeliza um sistema físico em contato com um reservatório térmico de temperatura fixa, supondo que o volume e o número de partículas do sistema também são fixos. O ensemble canônico descreve tipicamente um sistema em contato com um reservatório térmico através de uma parede diatérmica, fixa e impermeável, mas sua aplicação transcende os limites da física.

Para um sistema em equilíbrio assumindo valores discretos de energia, com temperatura, número de partículas e volume fixos por reservatórios, a probabilidade $p_{i}$ de encontrá-lo num micro-estado particular $p_{i}$ é dada por:

p_{i}={\tfrac {1}{Z}}e^{-{\frac {E_{i}}{kT}}},

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

sendo $E_{i}$ a energia do microestado $i$ e $Z$ a função de partição do sistema, definida por

Z=\sum _{i}e^{-{\frac {E_{i}}{kT}}}=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}.

T^{\nu }{}_{\alpha }

Fora da física, o formalismo canónico é amplamente utilizado, sendo aplicado, por exemplo, para prever teoricamente a distribuição da rendas da observação de Pareto de que as rendas altas se distribuem de acordo com uma lei potencial inversa. A evidência indica que as rendas altas de diversos lugares dos Estados Unidos se encontram em equilíbrio termodinâmico.

Apresentação física do problema[editar | editar código-fonte]

Imagine-se que se tem um sistema físico em contacto com um banho térmico. Isto quer dizer que está em contacto com uma grande massa a uma temperatura dada, e pelo princípio zero da termodinâmica tenderemos portanto o sistema em equilíbrio termodinâmico com o banho. Nestas condições, a energia não está totalmente determinada, senão que é uma variável aleatória que pode tomar uma série de valores. Desta forma, só podemos falar de probabilidade de que o sistema adopte uma energia determinada em função desta temperatura.

O fator de Boltzmann[editar | editar código-fonte]

Demonstra-se que a probabilidade de que um sistema a temperatura T esteja numa configuração de energia E é proporcional ao fator de Boltzmann:

P_{E}={\frac {e^{-E/k_{B}T}}{Z}}

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

onde

P_{E}

é a probabilidade buscada

E

é a energia cuja probabilidade se está a procura

k_{B}

é a constante de Boltzmann

T

é a temperatura.

A constante $Z$ não é mais que uma constante de normalização imposta para que a soma das probabilidades de todos os estados seja um. Define-se trivialmente como:

Z=\sum _{\nu }e^{-E_{\nu }/k_{B}T}

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

onde $\nu$ é um índice mudo que recorre todos os estados possíveis do sistema com um número de partículas, volume e temperatura dadas.

A função de partição canónica[editar | editar código-fonte]

A constante de normalização $Z$ recebe o nome de função de partição canónica ou simplesmente de função partição. Esta é uma função matemática da temperatura, em número de partículas e o volume. Pode-se demonstrar a fórmula seguinte, que relaciona a mecânica estatística com a termodinâmica no conjunto canónico:

F(T,V,N)=-k_{B}T\;\log {Z}

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Esta equação nos dá a energia livre de Helmholtz do sistema (uma variável de estado termodinâmica) em função das suas variáveis naturais, o que supõe um conhecimento termodinâmico exaustivo do sistema. Portanto conhecer a função de partição é resolver o problema estatístico.

Em mecânica estatística, o Ensemble Grande Canônico, Grande Ensemble ou Ensemble Macrocanônico é um ensemble estatístico que modeliza um sistema termodinâmico em contato com um reservatório térmico e de partículas, com temperatura e potencial químico fixos.

Um dos interesse desse ensemble é sua capacidade de tratar sistemas com número de partículas variável, além do fato que a função de partição grande canônica é às vezes mais simples a calcular que a função de partição do ensemble canônico, como no caso dos gases quânticos de férmions e bósons.

Função de partição[editar | editar código-fonte]

Classicamente, a função de partição do ensemble grande canônico é dada pela soma ponderada da função de partição do ensemble canônico para um sistema de $N\,$ partículas

{\mathcal {Z}}(z,V,T)=\sum _{N=0}^{\infty }z^{N}\,Z(N,V,T)\,

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

onde $Z(N,V,T)\,$ é a função de partição do ensemble canônico para um sistema de volume V à temperatura T com o número de partículas N fixo. O parâmetro $z\,$ é definido abaixo e é chamado fugacidade (ou atividade) do sistema

\mu =k_{B}T\ln z\,

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

onde $\mu \,$ corresponde ao potential químico.

A função de partição grande canônica ainda pode ser reescrita como uma soma sobre os microestados j do sistema, caracterizados pela energia $E_{j}\,$ e pelo número de partículas $N_{j}\,$ ,

{\mathcal {Z}}(z,V,T)=\sum _{j}\exp(-\beta E_{j}+\beta \mu N_{j})\,

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

onde $\beta =1/k_{B}T\,$ .

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Quantidades termodinâmicas[editar | editar código-fonte]

Se considerarmos $z\,$ e $\beta \,$ como variáveis independentes, o número médio de partículas e a energia interna média do sistema são dados por

\langle N\rangle =z{\frac {\partial }{\partial z}}\ln {\mathcal {Z}}(z,V,T)\;\;{\text{ e }}\;\;\langle E\rangle =-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln {\mathcal {Z}}(z,V,T).

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Se considerarmos $\mu \,$ e $\beta \,$ como variáveis independentes, obtemos expressões equivalentes para o número de partículas

\langle N\rangle ={\dfrac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln {\mathcal {Z}}(\mu ,V,\beta )\;\;{\text{ e }}\;\;\langle E\rangle =-{\dfrac {\partial }{\partial \beta }}\ln {\mathcal {Z}}(\mu ,V,\beta )+\mu \langle N\rangle

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Os potenciais termodinâmicos podem igualmente ser obtidos, sendo a conexão com a termodinâmica estabelecida pelo grande potencial $\Phi$ que nos fornece todas as quantidades de interesse no limite termodinâmico. A energia livre de Helmholtz possibilita o mesmo tipo de conexão quando o problema é tratado pelo ensemble canônico.

\Phi (T,V,\mu )=-{\dfrac {1}{\beta }}\ln {{\mathcal {Z}}(T,V,\mu )}

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

A pressão, por exemplo, também pode ser expressa em termos da função de partição grande canônica

PV=k_{B}T\ln {\mathcal {Z}}

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Estatística de bósons e férmions[editar | editar código-fonte]

A função de partição grande canônica de um sistema de bósons e férmions pode ser facilmente calculada a partir do conceito de número de ocupação, diferentemente da função de partição canônica que não se fatoriza devido as correlações introduzidas pelo princípio de exclusão de Pauli.

Denotamos $n_{i}$ o número de partículas no auto-estado $i\,$ de energia $\epsilon _{i}\,$ para um micro-estado específico do sistema. Nesse caso, a função de partição de um sistema de férmions ou bósons independentes e idênticos se fatoriza

{\mathcal {Z}}(z,V,T)=\prod _{k}\left(\sum _{n_{k}}e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )n_{k}}\right),

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

sendo essas somas calculáveis a partir do princípio de exclusão de Pauli, que impõe $n_{i}={\text{0,1}}\,$ para férmions e $n_{i}\,$ natural para bósons, de forma que ela se escreve

\ln {\mathcal {Z}}=-\tau \sum _{k=1}^{\infty }\ln \left[1-\tau \exp {(\beta (\mu -\epsilon _{k}))}\right],

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

em que $\tau =1$ para bósons e $\tau =-1$ para férmions.

p_{i}={\tfrac {1}{Z}}e^{-{\frac {E_{i}}{kT}}},

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

sendo $E_{i}$ a energia do microestado $i$ e $Z$ a função de partição do sistema, definida por

Z=\sum _{i}e^{-{\frac {E_{i}}{kT}}}=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}.

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Apresentação física do problema[editar | editar código-fonte]

O fator de Boltzmann[editar | editar código-fonte]

Demonstra-se que a probabilidade de que um sistema a temperatura T esteja numa configuração de energia E é proporcional ao fator de Boltzmann:

P_{E}={\frac {e^{-E/k_{B}T}}{Z}}

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

onde

P_{E}

é a probabilidade buscada

E

é a energia cuja probabilidade se está a procura

k_{B}

é a constante de Boltzmann

T

é a temperatura.

A constante $Z$ não é mais que uma constante de normalização imposta para que a soma das probabilidades de todos os estados seja um. Define-se trivialmente como:

Z=\sum _{\nu }e^{-E_{\nu }/k_{B}T}

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

onde $\nu$ é um índice mudo que recorre todos os estados possíveis do sistema com um número de partículas, volume e temperatura dadas.

A função de partição canónica[editar | editar código-fonte]

F(T,V,N)=-k_{B}T\;\log {Z}

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

A mecânica estatística fornece um quadro que relaciona as propriedades microscópicas de átomos e moléculas com as propriedades macroscópicas ou extensivas de materiais que podem ser observados na vida cotidiana. Portanto, ela explica a termodinâmica como um resultado natural da estatística, mecânica clássica e mecânica quântica ao nível microscópico. Por causa desta história, a física estatística é muitas vezes considerada como sinônimo de mecânica estatística ou termodinâmica estatística.

Uma das equações mais importantes da mecânica estatística (análogo à F = ma em mecânica, ou a equação de Schrödinger na mecânica quântica) é a definição da função de partição Z, que é essencialmente uma soma ponderada de todos os possíveis estados q disponíveis para um sistema .

$Z=\sum _{q}{\mathrm {e} ^{-{\frac {E(q)}{k_{B}T}}}}$

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

onde $k_{B}$ é a constante de Boltzmann, T é a temperatura e E(q) é a energia do estado q. Além disso, a probabilidade de um determinado estado q ocorrer é dada por

$P(q)={\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {E(q)}{k_{B}T}}}}{Z}}$

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Aqui, vemos que os estados de energia muito alta têm pouca probabilidade de ocorrência, um resultado que é consistente com a intuição.

A abordagem estatística pode funcionar bem em sistemas clássicos quando o número de graus de liberdade (e assim o número de variáveis) é tão grande que a solução exata não é possível, ou não é realmente útil. A mecânica estatística também pode descrever o trabalho na dinâmica não-linear, teoria do caos, física térmica, dinâmica dos fluidos (particularmente nos números de Knudsen elevados) e física de plasmas.

Embora alguns problemas em física estatística possam ser resolvidos analiticamente por meio de aproximações e expansões, as pesquisas mais atuais utilizam o poder de processamento de computadores modernos para simular ou aproximar soluções. Uma abordagem comum para problemas estatísticos é usar uma simulação de Monte Carlo para produzir uma ideia da dinâmica de um sistema complexo.

O Grande Potencial é uma quantidade usada em física estatística para tratar especialmente processos irreversíveis em sistemas abertos.^[1]

O grande potencial é definido por

\Phi _{G}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ U-TS-\mu N

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

onde $U$ é a energia, $T$ a temperatura do sistema, $S$ a entropia, $\mu$ é o potencial químico, e $N$ é o número de partículas do sistema.

A diferencial do grande potencial é dada por

d\Phi _{G}=-SdT-Nd\mu -PdV

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

onde $P$ é a pressão e $V$ é o volume, usando a relação termodinâmica fundamental (combinados primeira e a segunda lei da termodinâmica);

dU=TdS-PdV+\mu dN

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Quando o sistema está em equilíbrio termodinâmico, $d\Phi _{G}$ é um mínimo. Isto pode ser visto, considerando que $d\Phi _{G}$ é zero se o volume é fixo e a temperatura e potencial químico cessaram de evoluir.

Energia Livre de Landau[editar | editar código-fonte]

Alguns autores referem-se a energia livre de Landau ou potencial de Landau como:^[2]

\Omega \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ F-\mu N=U-TS-\mu N

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

nomeado após o físico russo Lev Landau, que pode ser um sinônimo para o grande potencial, dependendo estipulações do sistema. Para sistemas homogêneos, obtém-se $\Omega =-PV\,\;$

Grande potencial para sistemas homogêneos versos não homogêneos[editar | editar código-fonte]

No caso de um tipo de escala invariante de sistema (um sistema em que o volume de $\lambda V$ tem exatamente o mesmo conjunto de microestados como $\lambda$ sistemas de volume de $V$ ), depois, quando se aumenta o sistema com novas partículas, a energia fluirá a partir do reservatório para preencher o novo volume com uma nova extensão homogénea do sistema original. A pressão, então, deve ser constante no que diz respeito às alterações no volume: $(\partial \langle P\rangle /\partial V)_{\mu ,T}=0$ , e as partículas e todas as quantidades aumentadas (número de partículas, de energia, de entropia, potenciais, ...) devem crescer linearmente com o volume, por exemplo, $(\partial \langle N\rangle /\partial V)_{\mu ,T}=N/V$ . Neste caso, temos simplesmente $\Phi _{G}=-\langle P\rangle V$ , bem como a relação familiarizadas $G=\langle N\rangle \mu$ para a energia livre de Gibbs. O valor de $\Phi _{G}$ deve ser entendido como o trabalho que extrai do sistema, reduzindo-o a nada (colocar todas as partículas e energia de volta para o reservatório). O fato é que $\Phi _{G}=-\langle P\rangle V$ é negativo, implica que leva energia a realizar esta extração. Tal escala homogénea não existe em muitos sistemas. Por exemplo, quando se analisa o conjunto de elétrons numa única molécula, ou mesmo um pedaço de metal flutuando no espaço, a duplicação do volume do espaço faz o dobro do número de elétrons no material.^[3] O problema aqui é que, apesar de elétrons e energia são trocados com um reservatório, o material anfitrião não é permitido mudar. Geralmente em pequenos sistemas, ou sistemas com interações de longo alcance ( aqueles que estão fora do limite termodinâmico), $\Phi _{G}\neq -\langle P\rangle V$ .^[4]

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Gás Ideal[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Gás ideal

Para um gás ideal,

\Phi _{G}=-k_{B}T\ln(\Xi )=-k_{B}TZ_{1}e^{\beta \mu }

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

onde $\Xi$ é o grande função de partição, $k_{B}$ $k_{B}$ é a constante de Boltzmann, $Z_{1}$ $Z_{1}$ é a função de partição para uma partícula e $\beta ={\frac {1}{{k_{B}}T}}$

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

é o inverso da temperatura. O fator $e^{\beta \mu }$ é o fator de Boltzmann.

Pesquisar este blog

MECÂNICA GENRALIZADA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA DIMENSIONAL TENSORIAL [440]]

Apresentação física do problema[editar | editar código-fonte]

O fator de Boltzmann[editar | editar código-fonte]

A função de partição canónica[editar | editar código-fonte]

Função de partição[editar | editar código-fonte]

Quantidades termodinâmicas[editar | editar código-fonte]

Estatística de bósons e férmions[editar | editar código-fonte]

Apresentação física do problema[editar | editar código-fonte]

O fator de Boltzmann[editar | editar código-fonte]

A função de partição canónica[editar | editar código-fonte]

Energia Livre de Landau[editar | editar código-fonte]

Grande potencial para sistemas homogêneos versos não homogêneos[editar | editar código-fonte]

Gás Ideal[editar | editar código-fonte]

Comentários

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog